Resolución
de sistemas por el método de Gauss-Jordan
Diego Maximiliano Monasterio
Introducción
Como
trabajo final para el régimen de promoción de la asignatura Matemática I, desarrollaré
a continuación esta monografía referida a la resolución de sistemas por el
método de Gauss- Jordan.
Luego de
buscar y seleccionar la información referida al tema, y de realizar un repaso
general acerca del tema matrices y ecuaciones lineales, me encuentro en
condiciones de realizar este trabajo acorde a los requisitos que la cátedra
propuso durante todo el cursado de la materia.
Desarrollo
El
Método de Gauss – Jordan o también llamado eliminación de Gauss – Jordan, es un
método por el cual pueden resolverse sistemas de ecuaciones lineales con n
números de variables, encontrar matrices y matrices inversas, en este caso
desarrollaremos la primera aplicación mencionada.
Para
resolver sistemas de ecuaciones lineales aplicando este método, se debe en primer
lugar anotar los coeficientes de las variables del sistema de ecuaciones
lineales en su notación matricial:
Entonces,
anotando como matriz (también llamada matriz aumentada):
Una vez
hecho esto, a continuación se procede a convertir dicha matriz en una matriz
identidad, es decir una matriz equivalente a la original, la cual es de la
forma:
Esto se
logra aplicando a las distintas filas y columnas de las matrices simples
operaciones de suma, resta, multiplicación y división; teniendo en cuenta que
una operación se aplicara a todos los elementos de la fila o de la columna, sea
el caso.
Obsérvese
que en dicha matriz identidad no aparecen los términos independientes, esto se
debe a que cuando nuestra matriz original alcance la forma de la matriz
identidad, dichos términos resultaran ser la solución del sistema y verificaran
la igualdad para cada una de las variables, correspondiéndose de la siguiente
forma:
d1 = x
d2 = y
d3 = z
Ahora
que están sentadas las bases, podemos explicar paso a paso la resolución de
sistemas de ecuaciones lineales por medio de este método.
Para
ilustrarnos mejor lo analizaremos con un ejemplo concreto:
Sea el
sistema de ecuaciones:
Procedemos
al primer paso para encontrar su solución, anotarlo en su forma matricial:
Una vez
hecho esto podemos empezar a operar con las distintas filas y columnas de la
matriz para transformarla en su matriz identidad, teniendo siempre en cuenta la
forma de la misma:
Lo
primero que debemos hacer es transformar el 2 de la 1ª fila de la matriz
original en el 1 de la 1ª fila de la matriz identidad; para hacer esto debemos
multiplicar toda la 1ª fila por el inverso de 2, es decir ½.
Luego
debemos obtener los dos ceros de la primera columna de la matriz identidad,
para lograr esto, buscamos el opuesto de los números que se ubicaron por debajo
del 1 de la primera columna, en este caso el opuesto de 3 que será -3 y el
opuesto de 5 que será -5.
Una vez
hecho esto, se procederá a multiplicar los opuestos de estos números por cada
uno de los elemento de la 1ª fila y estos se sumaran a los números de su
respectiva columna. Por ej.: en el caso de la 2º fila, se multiplicara a -3
(opuesto de 3) por cada uno de los elementos de la 1º fila y se sumara su
resultado con el numero que le corresponda en columna de la segunda fila. En el
caso de la 3ª fila se multiplicara a -5 (opuesto de 5) por cada uno de los
elementos de la 1º fila y se sumara su resultado con el número que le
corresponda en columna de la tercera fila.
Nuestro
siguiente paso es obtener el 1 de la 2ª fila de la matriz identidad, y
procedemos de igual forma que antes, es decir multiplicamos toda la fila por el
inverso del numero que deseamos transformar en 1, en este caso -13/2, cuyo
inverso es -2/13
Además
si observamos la tercera fila, nos damos cuenta que todos los elementos poseen
el mismo denominador, entonces podemos eliminarlos multiplicando todos los
elementos de la 3º fila por 2 (el denominador); si bien este no es un paso
necesario para el desarrollo del método, es útil para facilitar cálculos posteriores.
Resolución
de sistemas por el método de Gauss-Jordan (página 2)
Diego Maximiliano Monasterio
Ahora
queremos obtener el 0 que se ubica en la 3ª fila, 2ª columna de la matriz
identidad, para hacer esto buscamos el opuesto del numero que se ubica en la 3ª
fila, 2ª columna de la matriz con la cual estamos operando, en este caso -17,
cuyo opuesto será 17; lo que hacemos ahora es multiplicar este número por todos
los elementos de la 2ª fila y sumar esos resultados con el numero que le
corresponde en columna de la 3ª fila.
A esta
altura podemos observar como la matriz con la cual estamos operando empieza a
parecerse a la matriz identidad.
Nuestro
siguiente paso es obtener el 1 correspondiente a la 3ª fila, 3ª columna de la
matriz identidad, ahora bien, aplicamos el mismo procedimiento con el que
estábamos trabajando, es decir que vamos a multiplicar toda la 3ª fila por el
inverso del numero que se encuentre en la posición de la 3ª fila, 3ª columna,
en este caso 96/13, cuyo inverso será 13/96.
Luego
debemos obtener los dos ceros de la tercera columna de la matriz identidad,
para lograr esto, buscamos el opuesto de los números que se ubicaron por encima
del 1 de la 3ª columna de la matriz con la cual estamos operando, en este caso
11/13 y ½ cuyos opuestos serán - 11/13 y -½, respectivamente.
Una vez
hecho esto, se procederá a multiplicar los opuestos de estos números por cada
uno de los elemento de la 3ª fila y estos se sumaran a los números de su
respectiva columna. Por ej.: en el caso de la 2º fila, se multiplicara a -
11/13 (opuesto de 11/13) por cada uno de los elementos de la 3º fila y se
sumaran sus resultados con el número que le corresponda en columna de la
segunda fila. En el caso de la 1ª fila se multiplicara a -½ (opuesto de ½) por
cada uno de los elementos de la 3º fila y se sumaran sus resultados con el
número que le corresponda en columna de la primera fila.
El
último paso que debemos realizar es obtener el 0 de la 1ª columna, 2ª fila de
la matriz identidad, para hacer esto buscamos el opuesto del numero que se
ubica en la 1ª columna, 2ª fila de la matriz con la que estamos operando, en
este caso es 3/2, cuyo opuesto será - 3/2, lo que hacemos ahora es multiplicar
este número por todos los elementos de la 2ª fila y sumar esos resultados con
el numero que le corresponde en columna de la 1ª fila.
Como
podemos observar hemos llegado al modelo de la matriz identidad que buscábamos,
y en la cuarta columna hemos obtenido los valores de las variables,
correspondiéndose de este modo:
x= 1
y= -1
z= 2
Luego, el
sistema de ecuaciones está resuelto y por último lo verificamos.
2x + 3y
+ z = 1 3x – 2y – 4z = -3 5x – y – z = 4
2*1+3*(-1)+2=1
3*1- 2*(-1)-4*2=-3 5*1-(-1)-2 =4
2 -3 +2
=1 3 +2 - 8= -3 5 +1 - 2 = 4
1 = 1 -3
= -3 4= 4
Conclusión
Para
finalizar este trabajo es importante destacar algunas observaciones
importantes; por empezar encontré dificultosa la realización de este trabajo
puesto que se trababa del desarrollo de un tema que nunca antes tuve la
oportunidad de conocer y mucho menos de ejercitar, pero su comprensión se vio
facilitada por conocimientos previos relacionados a matrices y ecuaciones.
También
vale la pena destacar la importancia del conocimiento de este tema para la
formación de un Ing. Agrónomo puesto que pueden solucionarse problemas de muchas
variables y hay muchísimas situaciones que se nos presentaran y podremos
aplicar este conocimiento.
Bibliografía
Algebra,
El método de Gauss- Jordan y preliminares de algebra lineal; cuadernillo
Ingeniería técnica en informática de sistemas y gestión, Universidad Rey Juan
Carlos, España.
Problemario,
solución de sistemas de ecuaciones lineales mediante el método de gauss-
Jordan, Prof. José Becerril Espino, Universidad Autónoma Metropolitana, México.
Algebra
lineal y sus aplicaciones, David C. Lay.
Autor:
Diego
Maximiliano Monasterio
Profesores:
Lic.
Salas, Alfredo
Lic.
Ortega, Guillermo
Lic.
Foresi, Pedro
Año
2009.
Universidad
nacional de Catamarca.
Facultad
de Ciencias Agrarias.
Carrera:
Ingeniería Agronómica.
Asignatura:
Matemática I.
El
Centro de Tesis, Documentos, Publicaciones y Recursos Educativos más amplio de
la Red.
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